EL CÁLCULO
Durante buena parte del siglo los discípulos de Newton y Leibniz se basaron en sus trabajos para resolver diversos problemas de física, astronomía e ingeniería, lo que les permitió, al mismo tiempo, crear campos nuevos dentro de las matemáticas. Así, los hermanos Bernoulli inventaron el cálculo de variaciones y el matemático francés Monge la geometría descriptiva. Lagrange, también francés, dio un tratamiento completamente analítico de la mecánica, realizó contribuciones al estudio de las ecuaciones diferenciales y la teoría de números, y desarrolló la teoría de grupos. Su contemporáneo Laplace escribió Teoría analítica de las probabilidades (1812) y el clásico Mecánica celeste (1799-1825), que le valió el sobrenombre de "el Newton francés".
Sin embargo el gran matemático del siglo fue el suizo Euler, quien aportó ideas fundamentales sobre el cálculo y otras ramas de las matemáticas y sus aplicaciones. Euler escribió textos sobre cálculo, mecánica y álgebra que se convirtieron en modelos a seguir para otros autores interesados en estas disciplinas. El éxito de Euler y de otros matemáticos para resolver problemas tanto matemáticos como físicos utilizando el cálculo sólo sirvió para acentuar la falta de un desarrollo adecuado y justificado de las ideas básicas del cálculo. La teoría de Newton se basó en la cinemática y las velocidades, la de Leibniz en los infinitésimos, y el tratamiento de Lagrange era completamente algebraico y basado en el concepto de las series infinitas. Todos estos sistemas eran inadecuados en comparación con el modelo lógico de la geometría griega, y este problema no fue resuelto hasta el siglo posterior.
A los matemáticos de fines del siglo el horizonte matemático les parecía obstruido. Se había llegado al estudio de cuestiones muy complicadas a las que nos se les conocía o veía un alcance claro. Los sabios sentían la necesidad de estudiar conceptos nuevos y hallar nuevos procedimientos.
3.-Integrales trigonométricas, logarítmicas y exponenciales
BIOGRAFÍA:
Nació el 25 de Diciembre de 1642 (según el calendario Juliano y el 4 de Enero de 1643 según el calendario gregoriano vigente en toda Europa) en Woolsthorpe (Inglaterra) y murió el 23 de Marzo de 1727 en Kensington, siendo enterrado en la famosa abadía de Westminster junto a los grandes de Inglaterra.
Su padre murió tres meses antes de que naciera y su madre se volvió a casar cuando Isaac apenas tenía tres años, por lo que fue criado por su abuela. Esta separación le traumatizó.
No fue un niño prodigio. Nació sietemesino en una familia de campesinos. Tuvo problemas de salud y dificultades en los estudios. Como era débil físicamente no jugaba con los niños de su edad, escribía poesías, dibujaba y construía juguetes.
Sus primeros estudios los realizó en las escuelas situadas en los pueblos cercanos a donde vivía, a las que iba andando. En estos colegios no era muy buen estudiante (era el penúltimo de la clase). Con 17 años le sacaron del colegio para ayudar a la granja familiar, pero se pasaba la mayor parte del tiempo resolviendo problemas, experimentando e ideando modelos mecánicos.
Como era un pésimo granjero, su madre y su tío decidieron que fuera al College Trinity de Cambridge donde ingresó en 1661 y se licenció en Artes en 1665. Pero ese mismo año se cerró la Universidad a causa de la peste y tuvo que volver a la granja.
Entre 1665 y 1667, estando en la granja (por culpa de la peste), concibió la mayor parte de las teorías que le han hecho famosos.
Regresó a Cambridge en 1667, primero como becario (ayudante), luego como profesor y finalmente como catedrático.
En 1689 fue elegido miembro de la Cámara de los Lores, aunque no tenía nada que ver con la política. Al año siguiente se disuelve la cámara y Newton vuelve a su cátedra.
En 1693, debido al exceso de trabajo (o a un autoenvenenamiento con uno de sus experimentos) se desplomó mentalmente. Derrumbe del que tardo meses en salir y desde entonces no fue el mismo genio que había sido hasta entonces.
En 1696 fue nombrado inspector de la Casa de la Moneda y se encargó de la reforma del sistema de acuñaciones. En 1699 fue nombrado director de la misma. En 1703 fue elegido presidente de la Sociedad Real siendo reelegido cada año hasta su muerte. En 1705 es nombrado Caballero del Imperio británico (Sir).
En 1722 le aparecen cálculos renales y poco después empezó a tener problemas respiratorios, por lo que sus últimos años los pasó con bastantes dolores, aunque los acepto con resignación y dignidad. Murió a los 84 años.
PRINCIPALES APORTACIONES A LAS MATEMÁTICAS:
Formuló el teorema general del binomio newton
Fundador del cálculo infinitesimal.
Extendió la notación para exponentes negativos y racionales.
Descubrió las tres leyes fundamentales del movimiento.
Descubrió la Ley de la Gravitación Universal.
Invento el reloj de péndulo.
Descubrió la naturaleza de los colores.
Construyó el primer telescopio reflectante.
Dedujo que la integración es el proceso inverso de la diferenciación.
Descubrió la fórmula para obtener la fuerza centrífuga sobre un cuerpo que se mueve uniformemente en una trayectoria circular.
Gottfried Wilhelm Leibniz
leibniz
(Gottfried Wilhelm von Leibniz; Leipzig, actual Alemania, 1646 - Hannover, id., 1716) Filósofo y matemático alemán. Su padre, profesor de filosofía moral en la Universidad de Leipzig, falleció cuando Leibniz contaba seis años. Capaz de escribir poemas en latín a los ocho años, a los doce empezó a interesarse por la lógica aristotélica a través del estudio de la filosofía escolástica.
En 1661 ingresó en la universidad de su ciudad natal para estudiar leyes, y dos años después se trasladó a la Universidad de Jena, donde estudió matemáticas con E. Weigel. En 1666, la Universidad de Leipzig rechazó, a causa de su juventud, concederle el título de doctor, que Leibniz obtuvo sin embargo en Altdorf; tras rechazar el ofrecimiento que allí se le hizo de una cátedra, en 1667 entró al servicio del arzobispo elector de Maguncia como diplomático, y en los años siguientes desplegó una intensa actividad en los círculos cortesanos y eclesiásticos.
En 1672 fue enviado a París con la misión de disuadir a Luis XIV de su propósito de invadir Alemania; aunque fracasó en la embajada, Leibniz permaneció cinco años en París, donde desarrolló una fecunda labor intelectual. De esta época datan su invención de una máquina de calcular capaz de realizar las operaciones de multiplicación, división y extracción de raíces cuadradas, así como la elaboración de las bases del cálculo infinitesimal.
En 1676 fue nombrado bibliotecario del duque de Hannover, de quien más adelante sería consejero, además de historiador de la casa ducal. A la muerte de Sofía Carlota (1705), la esposa del duque, con quien Leibniz tuvo amistad, su papel como consejero de príncipes empezó a declinar. Dedicó sus últimos años a su tarea de historiador y a la redacción de sus obras filosóficas más importantes, que se publicaron póstumamente.
Representante por excelencia del racionalismo, Leibniz situó el criterio de verdad del conocimiento en su necesidad intríseca y no en su adecuación con la realidad; el modelo de esa necesidad lo proporcionan las verdades analíticas de las matemáticas.Junto a estas verdades de razón, existen las verdades de hecho, que son contingentes y no manifiestan por sí mismas su verdad.
El problema de encontrar un fundamento racional para estas últimas lo resolvió afirmando que su contingencia era consecuencia del carácter finito de la mente humana, incapaz de analizarlas por entero en las infinitas determinaciones de los conceptos que en ellas intervienen, ya que cualquier cosa concreta, al estar relacionada con todas las demás siquiera por ser diferente de ellas, posee un conjunto de propiedades infinito.
HISTORIA DE LA DERIVADA
Los problemas típicos que dieron origen al cálculo infinitesimal, comenzaron a plantearse en la época clásica de la antigua Grecia (siglo III a.c), pero no se encontraron métodos sistemáticos de resolución hasta veinte siglos después (en el siglo XVII por obra de Isaac Newton y Gottfried Leibniz).
En lo que atañe a las derivadas existen dos conceptos de tipo geométrico que le dieron origen:
El problema de la tangente a una curva (Apolonio de Perge)
El Teorema de los extremos: máximos y mínimos (Pierre de Fermat)
En su conjunto dieron origen a lo que modernamente se conoce como cálculo diferencial.
Newton y Leibniz
Artículos principales: Newton y Leibniz
A finales del siglo XVII sintetizaron en dos conceptos, métodos usados por sus predecesores los que hoy llamamos «derivadas» e «integrales». Desarrollaron reglas para manipular las derivadas (reglas de derivación) y mostraron que ambos conceptos eran inversos (teorema fundamental del cálculo).
Newton desarrolló en Cambridge su propio método para el cálculo de tangentes. En 1665 encontró un algoritmo para derivar funciones algebraicas que coincidía con el descubierto por Fermat. A finales de 1665 se dedicó a reestructurar las bases de su cálculo, intentando desligarse de los infinitesimales, e introdujo el concepto de fluxión, que para él era la velocidad con la que una variable «fluye» (varía) con el tiempo.
Leibniz, por su parte, descubrió y comenzó a desarrollar el cálculo diferencial en 1675. Fue el primero en publicar los mismos resultados que Newton descubriera 10 años antes. En su investigación conservó un carácter geométrico y trató a la derivada como un cociente incremental y no como una velocidad. Fue quizás el mayor inventor de símbolos matemáticos. A él se deben los nombres de: cálculo diferencial y cálculo integral, así como los símbolos y el símbolo de la integral.
HISTORIA DEL CÁLCULO INTEGRAL
El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o anti derivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución. Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos. La integral definida de una función representa el área limitada por la gráfica de la función, con signo positivo cuando la función toma valores positivos y negativo cuando toma valores negativos. Integrales definidas
1.- Integrales impropias
2.- Integrales múltiples (dobles o triples)
3.-Integrales trigonométricas, logarítmicas y exponenciales
- Métodos de integración Sus principales objetivos a estudiar son:
- Área de una región plana
- Cambio de variable
- Integrales indefinidas
- Teorema fundamental del cálculo
Volumen de un sólido de revolución
El cálculo integral se basa en el proceso inverso de la derivación, llamado integración. Dada una función f, se busca otra función F tal que su derivada es F' = f; F es la integral, primitiva o anti derivada de f, lo que se escribe F(x) = f(x)dx o simplemente F = f dx (esta notación se explica más adelante). Las tablas de derivadas se pueden utilizar para la integración: como la derivada de x2 es 2x, la integral de 2x es x2. Si F es la integral de f, la forma más general de la integral de f es F + c, en donde c es una constante cualquiera llamada constante de integración; esto es debido a que la derivada de una constante es 0 por lo que (F + c)' = F' + c' = f + 0 = f. Por ejemplo, 2xdx = x2 + c.
Las reglas básicas de integración de funciones compuestas son similares a las de la diferenciación La integral de la suma (o diferencia) es igual a la suma (o diferencia) de sus integrales, y lo mismo ocurre con la multiplicación por una constante. Así, la integral de x = ½•2x es ½x2, y de forma similar xm dx = xm+1/(m + 1) para cualquier m -1 (no se incluye el caso de m = -1 para evitar la división por 0; el logaritmo neperiano ln|x| es la integral de x-1 = 1/x para cualquier x 0). La integración suele ser más difícil que la diferenciación, pero muchas de las funciones más corrientes se pueden integrar utilizando éstas y otras reglas.
Las reglas básicas de integración de funciones compuestas son similares a las de la diferenciación La integral de la suma (o diferencia) es igual a la suma (o diferencia) de sus integrales, y lo mismo ocurre con la multiplicación por una constante. Así, la integral de x = ½•2x es ½x2, y de forma similar xm dx = xm+1/(m + 1) para cualquier m -1 (no se incluye el caso de m = -1 para evitar la división por 0; el logaritmo neperiano ln|x| es la integral de x-1 = 1/x para cualquier x 0). La integración suele ser más difícil que la diferenciación, pero muchas de las funciones más corrientes se pueden integrar utilizando éstas y otras reglas.
BIOGRAFÍA:
ISAAC NEWTON
Nació el 25 de Diciembre de 1642 (según el calendario Juliano y el 4 de Enero de 1643 según el calendario gregoriano vigente en toda Europa) en Woolsthorpe (Inglaterra) y murió el 23 de Marzo de 1727 en Kensington, siendo enterrado en la famosa abadía de Westminster junto a los grandes de Inglaterra.
Su padre murió tres meses antes de que naciera y su madre se volvió a casar cuando Isaac apenas tenía tres años, por lo que fue criado por su abuela. Esta separación le traumatizó.
No fue un niño prodigio. Nació sietemesino en una familia de campesinos. Tuvo problemas de salud y dificultades en los estudios. Como era débil físicamente no jugaba con los niños de su edad, escribía poesías, dibujaba y construía juguetes.
Sus primeros estudios los realizó en las escuelas situadas en los pueblos cercanos a donde vivía, a las que iba andando. En estos colegios no era muy buen estudiante (era el penúltimo de la clase). Con 17 años le sacaron del colegio para ayudar a la granja familiar, pero se pasaba la mayor parte del tiempo resolviendo problemas, experimentando e ideando modelos mecánicos.
Como era un pésimo granjero, su madre y su tío decidieron que fuera al College Trinity de Cambridge donde ingresó en 1661 y se licenció en Artes en 1665. Pero ese mismo año se cerró la Universidad a causa de la peste y tuvo que volver a la granja.
Entre 1665 y 1667, estando en la granja (por culpa de la peste), concibió la mayor parte de las teorías que le han hecho famosos.
Regresó a Cambridge en 1667, primero como becario (ayudante), luego como profesor y finalmente como catedrático.
En 1689 fue elegido miembro de la Cámara de los Lores, aunque no tenía nada que ver con la política. Al año siguiente se disuelve la cámara y Newton vuelve a su cátedra.
En 1693, debido al exceso de trabajo (o a un autoenvenenamiento con uno de sus experimentos) se desplomó mentalmente. Derrumbe del que tardo meses en salir y desde entonces no fue el mismo genio que había sido hasta entonces.
En 1696 fue nombrado inspector de la Casa de la Moneda y se encargó de la reforma del sistema de acuñaciones. En 1699 fue nombrado director de la misma. En 1703 fue elegido presidente de la Sociedad Real siendo reelegido cada año hasta su muerte. En 1705 es nombrado Caballero del Imperio británico (Sir).
En 1722 le aparecen cálculos renales y poco después empezó a tener problemas respiratorios, por lo que sus últimos años los pasó con bastantes dolores, aunque los acepto con resignación y dignidad. Murió a los 84 años.
PRINCIPALES APORTACIONES A LAS MATEMÁTICAS:
Formuló el teorema general del binomio newton
Fundador del cálculo infinitesimal.
Extendió la notación para exponentes negativos y racionales.
Descubrió las tres leyes fundamentales del movimiento.
Descubrió la Ley de la Gravitación Universal.
Invento el reloj de péndulo.
Descubrió la naturaleza de los colores.
Construyó el primer telescopio reflectante.
Dedujo que la integración es el proceso inverso de la diferenciación.
Descubrió la fórmula para obtener la fuerza centrífuga sobre un cuerpo que se mueve uniformemente en una trayectoria circular.
Gottfried Wilhelm Leibniz
leibniz
(Gottfried Wilhelm von Leibniz; Leipzig, actual Alemania, 1646 - Hannover, id., 1716) Filósofo y matemático alemán. Su padre, profesor de filosofía moral en la Universidad de Leipzig, falleció cuando Leibniz contaba seis años. Capaz de escribir poemas en latín a los ocho años, a los doce empezó a interesarse por la lógica aristotélica a través del estudio de la filosofía escolástica.
En 1661 ingresó en la universidad de su ciudad natal para estudiar leyes, y dos años después se trasladó a la Universidad de Jena, donde estudió matemáticas con E. Weigel. En 1666, la Universidad de Leipzig rechazó, a causa de su juventud, concederle el título de doctor, que Leibniz obtuvo sin embargo en Altdorf; tras rechazar el ofrecimiento que allí se le hizo de una cátedra, en 1667 entró al servicio del arzobispo elector de Maguncia como diplomático, y en los años siguientes desplegó una intensa actividad en los círculos cortesanos y eclesiásticos.
En 1672 fue enviado a París con la misión de disuadir a Luis XIV de su propósito de invadir Alemania; aunque fracasó en la embajada, Leibniz permaneció cinco años en París, donde desarrolló una fecunda labor intelectual. De esta época datan su invención de una máquina de calcular capaz de realizar las operaciones de multiplicación, división y extracción de raíces cuadradas, así como la elaboración de las bases del cálculo infinitesimal.
En 1676 fue nombrado bibliotecario del duque de Hannover, de quien más adelante sería consejero, además de historiador de la casa ducal. A la muerte de Sofía Carlota (1705), la esposa del duque, con quien Leibniz tuvo amistad, su papel como consejero de príncipes empezó a declinar. Dedicó sus últimos años a su tarea de historiador y a la redacción de sus obras filosóficas más importantes, que se publicaron póstumamente.
Representante por excelencia del racionalismo, Leibniz situó el criterio de verdad del conocimiento en su necesidad intríseca y no en su adecuación con la realidad; el modelo de esa necesidad lo proporcionan las verdades analíticas de las matemáticas.Junto a estas verdades de razón, existen las verdades de hecho, que son contingentes y no manifiestan por sí mismas su verdad.
El problema de encontrar un fundamento racional para estas últimas lo resolvió afirmando que su contingencia era consecuencia del carácter finito de la mente humana, incapaz de analizarlas por entero en las infinitas determinaciones de los conceptos que en ellas intervienen, ya que cualquier cosa concreta, al estar relacionada con todas las demás siquiera por ser diferente de ellas, posee un conjunto de propiedades infinito.
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