GEOMETRÍA DIFERENCIAL
Este es un buen momento para retomar la idea de la geometría diferencial (término usado así por primera vez por Luigi Bianchi, 1856 - 1928, en 1894), pues se trata de un marco teórico más general en el cual se integran las geometrías no euclidianas y más que eso: todas las geometrías. La geometría ya no trata de puntos o rectas del espacio, sino de lo que se llama variedades. El punto de partida puede decirse que era el trabajo realizado por Gauss en la construcción de mapas y la llamada geodesia, que apoyaría un nuevo enfoque sobre la naturaleza del espacio. Es decir:
"El problema de construir mapas planos de la superficie de la tierra fue uno de los que dio origen a la geometría diferencial, que se puede describir a grandes rasgos como la investigación de las propiedades de curvas y superficies en el entorno de un punto.'' [Bell, E.T.: Historia de las matemáticas, p. 365]
La geometría diferencial trata de las propiedades de las curvas y superficies que varían de un punto a otro, y son sujetas a variaciones (de punto en punto) donde tiene sentido la utilización de las técnicas del Cálculo. Gauss, en su Disquisitiones Generales circa Superficies Curvas (Investigaciones generales sobre superficies curvas) ofreció la nueva idea que usaría Riemann: una superficie se podía ver como un espacio en sí mismo.
Puede resultar interesante hacer aquí una digresión casi filosófica sobre la naturaleza de la geometría. Para Riemann, al igual que para Gauss, la geometría debía asociarse con la mecánica; por eso, buscó demostrar que los axiomas específicos de Euclides eran empíricos y no autoevidentes y necesarios en sí mismos sin tomar en cuenta la acción de la experiencia. Su estrategia fue buscar qué era lo realmente a priori en la geometría del espacio y estudiar sus consecuencias. Las otras propiedades del espacio no eran a priori. Con ello podría concluir que serían de naturaleza empírica. Es decir, buscar lo realmente necesario y autoevidente y, luego, hacer ver que lo que quedaba fuera tenía que ser empírico.
En su investigación, Riemann concluyó que, para estudiar el espacio, debía hacerse localmente y no como un todo: el espacio se debía analizar por pedazos. Eso implicaba, por ejemplo, que no se podía ofrecer resultados aplicables para todo el espacio. ¿ Cómo resumir la geometría diferencial? El estudio de las propiedades de las curvas y superficies en el espacio en una variedad diferencial, que es uno de esos pedazos a estudio. Las variedades eran el concepto más general y éstas poseían un conjunto de propiedades aplicables a cualquier variedad. Este conjunto era el de las propiedades necesarias y autoevidentes que Riemann quería encontrar. Se trataba de una geometría con n dimensiones, y donde había ciertas reglas. El espacio "normal'' tenía 3. Riemann consideró la distancia entre 2 puntos infinitamente próximos.
se tiene lo que se llama un "espacio de Riemann''. Se puede establecer el espacio euclidiano (localmente, porque en Riemann todo es por pedazos), como un caso particular de un espacio de Riemann.
La teoría de geometrías de más de 3 dimensiones había sido desarrollada por el matemático alemán Hermann Grassmann en una obra de 1844: Ausdehnungslehre. Sus trabajos abrieron el camino al análisis vectorial para espacios afines y métricos. También Cayley había usado el concepto de espacio de n dimensiones, y Plücker también hizo contribuciones. Tomaría más tiempo, sin embargo, para que se le diera plena importancia a este tipo de espacios en la comunidad de matemáticos.
Para Riemann el espacio físico era un caso específico de una variedad diferencial. Por lo tanto, la geometría del espacio no podría ser deducida del conjunto de propiedades generales de las variedades. ¿Cómo obtener entonces las propiedades que distinguen el espacio físico de otras variedades de tres dimensiones? Respuesta: por medio de la experiencia. Es la experiencia la que debe decidir si las propiedades específicas que sintetiza la geometría euclidiana corresponden a la realidad o no. Las implicaciones filosóficas y científicas son aquí muchas. Por ejemplo, los axiomas de la geometría euclidiana podrían corresponder o no con el mundo circundante. Pero, ¿quién lo debe determinar? No la geometría, sino la física.
¿Más consecuencias? Sin duda. Aquí se introducía una visión del espacio radicalmente diferente de la que incluso hoy en día nos resulta normal. Vamos a usar un listado de propiedades del espacio físico dadas por el matemático inglés William K. Clifford para contribuir a entender aun más lo que suponía esta aproximación en la geometría:
"Riemann ha demostrado que existen diferentes clases de líneas y superficies, de la misma manera que existen diferentes clases de espacios de tres dimensiones y que sólo podemos averiguar por la experiencia a cuál de estas clases pertenece el espacio en que vivimos. En particular, los axiomas de la geometría plana son ciertos dentro de los límites de experimentación en la superficie de una hoja de papel y, sin embargo, sabemos que la hoja está realmente cubierta de un cierto número de lomas y surcos, sobre los que (al no ser cero la curvatura total) estos axiomas no son ciertos. De manera análoga, dice que aunque los axiomas de la geometría del sólido son ciertos dentro de los límites de experimentación para porciones finitas de nuestro espacio, todavía no tenemos motivo para concluir que son ciertos para porciones muy pequeñas; y si por ello puede obtenerse alguna explicación de los fenómenos físicos, tendremos razones para concluir que ellos no son ciertos para regiones muy pequeñas del espacio.
Finalmente, la apreciación de de Lorenzo:
"Lo que puede destacarse, aquí, de la creación de la Geometría diferencial es, por un lado, y como ya he indicado anteriormente, que la misma supone una inversión del Cálculo diferencial supeditado, ahora, en su propio desarrollo y sobre todo en el terreno de las ecuaciones diferenciales, a las previas concepciones geométricas a las que ha de servir. Por otro lado, y aunque se conserve como objetivo central del estudio geométrico la figura y no el espacio en el cual se encuentra sumergida, la simple posibilidad de establecer y estudiar las propiedades intrínsecas obliga a plantearse desde una perspectiva nueva el papel de ese espacio, obliga a cuestionar las propiedades del mismo y, con ello, obliga a un cambio de perspectiva en cuanto a la naturaleza en sí de dicho espacio.(...)
Constituye, de esta forma, la Geometría diferencial un elemento revolucionario para la concepción del espacio, más aún que las restantes geometrías, dado que éstas mantenían la imagen de un espacio real intocable en el cual se encontraban las figuras, cuyas propiedades 'reales' tenía que develar el matemático bien con unos métodos sintéticos puros, bien con unos medios de coordenadas no intrínsecas. Aspecto revolucionario en cuanto a la ideología -y que no he visto suficientemente destacado, por darse preferencia a las discusiones 'filosóficas' provocadas por las geometrías noeuclídeas, de repercusión inferior en el interior de la práctica teórica matemática-, no ya en cuanto al contenido o plano interior, en el cual se convierte en otra 'disciplina' más de dicho hacer, prácticamente independiente de las restantes, aunque en su origen se haya centrado en los mismos motivos y métodos que los demás marcos que aparecen tras la ruptura de los entornos de 1827: invertir y hallar la razón. [de Lorenzo, J.: La matemática y el problema de su historia, p. 55]
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