GEOMETRÍAS NO EUCLIDIANAS
La geometría vivió una auténtica revolución con el surgimiento de geometrías no euclidianas. Todo giraba alrededor del postulado de las paralelas de Euclides. Después de muchos años de tratar de demostrar el quinto postulado como una derivación de los otros postulados o de sustituirlo por otros, se asumió su independencia. Con ello se daría una importante transformación en la percepción de las matemáticas, en particular sobre su naturaleza.
Fueron Gauss, el ruso Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1793 - 1856) y el húngaro János Bolyai (1802 - 1860), los creadores de las geometrías no euclidianas, de una manera independiente. Se sabe, gracias a su diario, que Gauss se había adelantado a los otros matemáticos, pero este matemático no había publicado sus resultados. Gauss empezó a trabajar en la geometría no euclidiana desde 1792, con 15 años, cuando le mencionó a un amigo, Schumacher, la idea de una geometría válida sin el quinto postulado.
En una carta dirigida al matemático húngaro Wolfgang Farkas Bolyai (1775 - 1856), en 1799, Gauss afirmó que no se podía deducir el quinto postulado de los otros postulados euclidianos. Desde ese momento con mayor interés le dedicó sus esfuerzos a geometrías sin ese postulado: por lo menos desde 1813, Gauss trabajó en la nueva geometría que llamó primero anti-euclidiana, luego astral y después no euclidiana. Gauss llegó a la conclusión de que no podía probarse que los resultados de la geometría euclidiana fueran autoevidentes y su verdad necesaria, lo que sí sucedía -en su opinión- con la aritmética.
En la geometría que desarrolló Gauss, la suma de los ángulos de un triángulo es menor que 180 grados, pero esta suma aumenta de acuerdo con el tamaño del área del triángulo: conforme el área del triángulo se hace más pequeña, e incluso tiende a 180 cuando el área tiende a 0.
Lobachevsky, hijo de un modesto funcionario del gobierno ruso, empezó a los 21 años como profesor de la Universidad de Kazán, institución de la cual llegó a ser rector en 1827. Ya en el año 1826 había ofrecido su visión y resultados en la nueva geometría, pero este trabajo se perdió. Tiempo después publicó sus trabajos en Kazan, y también en el Journal für Mathematik, con un primer ensayo que se llamó "Sobre los fundamentos de la geometría'' (1829 - 1830) y, luego, un segundo trabajo: "Nuevos Fundamentos de la Geometría con una Teoría Completa de las Paralelas'' (1835 - 1837). Lobachevsky llamó su geometría en un principio imaginaria y posteriormente pangeometría.
Bolyai, hijo del profesor húngaro de matemáticas Wolfgang (Farkas) Bolyai (amigo de Gauss) publicó, en 1832 - 1833, "Ciencia absoluta del espacio", como apéndice en un libro de Farkas:Tentamen Juventutem Studiosam in Elementa Matheseos Purae Introducenci (Intento de introducir la juventud estudiosa en los elementos de Matemáticas Puras). Bolyai había trabajado las geometrías no euclidianas por lo menos desde 1823, sin embargo, publicó sus resultados después que Lobachevsky.
Gauss, Lobachevsky y Bolyai asumieron que el postulado euclidiano de las paralelas no se podía probar como deducción de los otros 9 postulados y axiomas de la geometría euclidiana, y que por eso mismo se requería un postulado adicional para ofrecer un fundamento a la nueva geometría. Lo que se hizo fue lo siguiente: puesto que el postulado de las paralelas era un hecho independiente, se adoptó una proposición contraria a ese axioma, para entonces deducir las consecuencias en un nuevo sistema con el nuevo axioma.
Como ha sucedido en otras ocasiones en las que se dan resultados casi idénticos o similares en un tema, se dio una polémica acerca de la prioridad histórica de los resultados. Gauss al leer en 1832 el artículo de János escribió a Farkas diciéndole que no podía aplaudir ese trabajo porque de hacerlo sería aplaudir su propio trabajo (de Gauss). Bolyai también pensó que Lobachevsky le había plagiado su trabajo. Fue Lobachevsky el primero en publicar su obra, y, por eso, se le suele considerar como el padre de la geometría no euclidiana. El tema estaba en el ambiente matemático de la época, en un contexto de profundas reformas y cambios sociales y culturales, y existía una tradición de trabajos precedentes que los tres matemáticos habían podido considerar: Saccheri, Lambert, Schweikart y Taurinus.
Aunque la geometría no euclidiana constituía una verdadera revolución, su influencia en la comunidad matemática no fue inmediata. Por un lado, porque el mismo Gauss no publicó sus resultados y, por el otro, porque Lobachevsky y Bolyai no eran originarios de los países "importantes'' en las ciencias y matemáticas de la época. Además, Lobachevsky publicó primero en ruso y los rusos que lo leyeron fueron muy duros con su trabajo. No fue sino hasta 1840 que Lobachevsky publicó en alemán. Hay que decir, además, que durante esa época la geometría de moda era la proyectiva, y, por otra parte, los matemáticos no se sentían a gusto con ideas tan radicales y novedosas.
Después de la muerte de Gauss, en 1855, se publicó sus trabajos incluyendo notas y correspondencia en torno a la geometría no euclidiana. Esto hizo que se le pusiera atención al tema.
Los trabajos de Bolyai y Lobachevsky fueron mencionados en 1866 - 1867 por el matemático Richard Baltzer (1818 - 1887) y poco después se fue tomando conciencia de la trascendencia de la nueva geometría. La geometría que desarrollaron asumió que por un punto exterior a una recta pasan un número infinito de rectas paralelas a la dada (es decir que no poseen puntos de intersección). Esto se derivaba de la hipótesis del ángulo agudo de Saccheri. De hecho, es con dos paralelas que trabajó Lobachevsky.
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